Калькулятор полиномов - вычисление арифметических выражений с многочленами

Калькулятор помогает быстро вычислять значение арифметического выражения, содержащего полиномы относительно переменной 'x'. Степень члена полинома записывается как ^. Допускается ввод только цифр, знаков арифметических операций +, -, *, /, круглых скобок, символа x для задания переменной, ^ для задания степени члена полинома и любого количества пробелов.
Внимание! В случае появления остатка при делении полиномов остаток отбрасывается, из-за чего конечный ответ может не совпадать с действительным!

Например, чтобы вычислить выражение (x² + 2x + 1) * (x⁴ + 1) нужно ввести в поле ввода строку (x^2 + 2x + 1) * (x^4 + 1).

Что такое полином или многочлен?

В математике полиномом или многочленом от одной переменной нызвается выражение вида a0 + a1·x + a2·x2 + ... + an·xn, где ai — фиксированные коэффициенты, x — переменая, а n — степень полинома.

Примеры многочленов:

• 10 — многочлен нулевой степени, или обычная константа
• 5x-7 — многочлен 2 степени, или обыкновенная линейная функция,
• x2+2x+1 — многочлен 2 степени, или парабола
• x6+2x5+x4+x2+2x+1 — многочлен 6 степени

Арифметические действия над полиномами

Сумма и разность двух полиномов

Чтобы найти результат сложения или разности двух многочленов достаточно всего лишь сложение или вычитание коэффициентов при одинаковых степенях. При этом, если у одного из полиномов нет какой-то степени, то будем считать, что коэффициент при ней равен нулю.

Пример: вычислить сумму и разность полиномов x2+2x+1 и x4-7x3-x+10
Решение:

1. Определим степени полиномов: 2 и 4.
2. Перепишем многочлены в виде полинома четвёртой степени (максимальной из степеней слагаемых) со всеми пропущенными степенями: 0x4+0x3+x2+2x+1 и x4-7x3+0x2-x+10
3. Сложим коэффициенты при одинаковых степенях для вычисления суммы полиномов: 0x4+0x3+x2+2x+1 + x4-7x3+0x2-x+10 = (0+1)·x4+(0-7)·x3+(1+0)·x2+(2-1)·x+(1+10) = x4-7x3+x2+x+11
4. Вычтем коэффициенты при одинаковых степенях второго многочлена из первого для вычисления разности полиномов: 0x4+0x3+x2+2x+1 - x4-7x3+0x2-x+10 = (0-1)·x4+(0-(-7))·x3+(1-0)·x2+(2-(-1))·x+(1-10) = -x4+7x3+x2+3x-9

Ответ: сумма: x4-7x3+x2+x+11, разность: -x4+7x3+x2+3x-9

Произведение двух полиномов

Чтобы вычислить произведение двух полиномов нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член из многочленов второго. Степень полученного члена определяется по обычным правилам вычисления степеней.

Пример: вычислить произведение полиномов x2+2x+1 и x3-7x+5
Решение:

1. Умножим x2 на x3-7x+5 = (1·1)·x2+3+(1·(-7))·x2+1+(1·5)·x(2+0) = x5-7x3+5x2
2. Умножим 2x на x3-7x+5 = (2·1)·x1+3+(2·(-7))·x1+1+(2·5)·x(1+0) = 2x4-14x2+10x
3. Умножим 1 на x3-7x+5 = (1·1)·x0+3+(1·(-7))·x0+1+(1·5)·x(0+0) = x3-7x+5
4. Сложим полученные части итогового полинома: x5-7x3+5x2 + 2x4-14x2+10x + x3-7x+5 = x5+2x4-6x3-9x2+3x+5

Ответ: x5+2x4-6x3-9x2+3x+5