Калькулятор комплексных чисел. Вычисление выражений с комплексными числами
Калькулятор комплексных чисел позволяет вычислять арифметические выражения, содержащие комплексные числа, знаки арифметических действий (+, -, *, /, ^), а также некоторые математические функции.
Калькулятор комплексных чисел
Вычислено выражений:
Как пользоваться калькулятором
- Введите в поле ввода выражение с комплексными числами
- Укажите, требуется ли вывод решения переключателем "С решением"
- Нажмите на кнопку "Построить"
Ввод комплексных чисел
комплексные числа можно вводить в следующих трёх форматах:
- Только действительная часть:
2, 2.5, -6.7, 12.25
- Только мнимая часть:
i, -i, 2i, -5i, 2.16i, -12.5i
- Действительная и мнимая части:
2+i, -5+15i, -7+2.5i, -6+i
- Математические константы:
π, e
Поддерживаемые операции и математические функции
- Арифметические операции:
+, -, *, /, ^
- Получение абсолютного значения числа:
abs
- Базовые математические функции:
exp, ln, sqrt
- Получение действительной и мнимой частей:
re, im
- Тригонометрические функции:
sin, cos, tg, ctg
- Гиперболические функции:
sh, ch, th, cth
- Обратные тригонометрические функции:
arcsin, arccos, arctg, arcctg
- Обратные гиперболические функции:
arsh, arch, arth, arcth
Примеры корректных выражений
- (2+3i)*(5-7i)
- sh(i)
- (4+i) / (3 - 4i)
- sqrt(2i)
- (-3+4i)*2i / exp(2i + (15 - 8i)/4 - 3.75)
Комплексные числа
Комплексные числа — это числа вида x+iy
, где x
, y
— вещественные числа, а i
- мнимая единица (специальное число, квадрат которого равен -1, то есть i2 = -1
).
Так же, как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, разности, умножения и деления, однако комплексные числа нельзя сравнивать.
Примеры комплексных чисел
4+3i
— действительная часть = 4, мнимая = 3-2+i
— действительная часть = -2, мнимая = 1i
— действительная часть = 0, мнимая = 1-i
— действительная часть = 0, мнимая = -110
— действительная часть = 10, мнимая = 0
Основные действия с комплексными числами
Основными операциями, определёнными для комплексных чисел, являются сложение, разность, произведение и деление комплексных чисел. Операции для двух произвольных комплексных чисел (a + bi) и (c + di) определяются следующим образом:
- сложение: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
- вычитание: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
- умножение: (a + bi) · (c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac - bd) + (bc + ad)i
- деление: =a + bic + di=(a + bi)(c - di)c2 + d2+(ac + bd)c2 + d2i(bc - ad)c2 + d2
Примеры
Найти сумму чисел 5+7i
и 5.5-2i
:
Найдём отдельно суммы действительных частей и сумму мнимых частей: re = 5 + 5.5 = 10.5, im = 7 - 2 = 5.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 10.5 + 5i
Полученное число и будет ответом:5+7i
+ 5.5-2i
= 10.5 + 5i
Найти разность чисел 12-i
и -2i
:
Найдём отдельно разности действительных частей и разности мнимых частей: re = 12 - 0 = 12, im = -1 - (-2) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 12 + 1i
Полученное число и будет ответом:12-i
- (-2i)
= 12 + i
Найти произведение чисел 2+3i
и 5-7i
:
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = 2·5 - 3·(-7) = 31, im = 3·5 + 2·(-7) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 31 + 1i
Полученное число и будет ответом:2+3i
* (5-7i)
= 31 + i
Найти отношение чисел 75-50i
и 3+4i
:
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = (75·3 - 50·4) / 25 = 1, im = (-50·3 - 75·4) / 25 = -18.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 1 - 18i
Полученное число и будет ответом:75-50i
/ (3+4i)
= 1 - 18i
Другие действия над комплексными числами
Помимо базовых операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел существуют также различные математические функции. Рассмотрим некоторые из них:
- Получение действительной части числа:
Re(z) = a
- Получение мнимой части числа:
Im(z) = b
- Модуль числа:
|z| = √(a2 + b2)
- Аргумент числа:
arg z = arctg(b / a)
- Экспонента:
ez = ea·cos(b) + i·ea·sin(b)
- Логарифм:
Ln(z) = ln |z| + i·arg(z)
- Тригонометрические функции: sin z, cos z, tg z, ctg z
- Гиперболические функции: sh z, ch z, th z, cth z
- Обратные тригонометрические функции: arcsin z, arccos z, arctg z, arcctg z
- Обратные гиперболические функции: arsh z, arch z, arth z, arcth z
Примеры
Найти действительную и мнимую части числа z, а также его модуль, если z = 4 - 3i
Re(z) = Re(4 - 3i) = 4
Im(z) = Im(4 - 3i) = -3
|z| = √(42 + (-3)2) = √25 = 5
Формы представления комплексных чисел
Комплексные числа принято представлять в одной из трёх следующих форм: алгебраической, тригонометрической и показательной.
- Алгебраическая форма — наиболее часто используемая форма комплексного числа, запись числа в виде суммы действительной и мнимой частей:
x+iy
, где x — действительная часть, а y — мнимая часть - Тригонометричкая форма — запись вида
r·(cos φ + isin φ)
, где r — модуль комплексного числа (r = |z|), а φ — аргумент этого числа (φ = arg(z)) - Показательная форма — запись вида
r·eiφ
, где r — модуль комплексного числа (r = |z|), e — число Эйлера, а φ — аргумент комплексного числа (φ = arg(z))
Пример:
Переведите число 1+i в тригонометрическую и показательную формы:
Решение:
- Найдём радиус (модуль) комплексного числа r: r = √(12 + 12) = √2
- Найдём аргумент числа: φ = arctan() =11= 45°π4
- Запишем результат в тригонометрической форме:
√2·(cos(45°) + isin(45°))
- Запишем результат в показательной форме:
√2·eπi/4